\documentclass[12pt, a4paper, oneside]{ctexart}
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\title{\vspace{-4cm}\textbf{河北师范大学数学分析真题}}
\author{杨泽天}
\date{\today}
\linespread{1.5}
\definecolor{shadecolor}{RGB}{241, 241, 255}
\newcounter{problemname}
\def\d{\mathrm{d}}
\newenvironment{problem}{\begin{shaded}\stepcounter{problemname}\noindent\textbf{题目\arabic{problemname}. }}{\end{shaded}}
\newenvironment{solution}{\par\noindent\textbf{解答. }}{\par}
\newenvironment{note}{\par\noindent\textbf{题目\arabic{problemname}的注记. }}{\par}
\pagestyle{plain}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\date{}
\maketitle
\section*{2018年数学分析}
\begin{problem}
    求下列极限：\\
    1) $\displaystyle \lim_{n\to \infty }\frac{1}{n} \sqrt[n]{n(n+1)(n+2)\cdots (n+n-1)}$\\
    \\
    2) $\displaystyle \lim_{x\to \infty }\left[ x-x\ln{(1+\frac{1}{x})}^x \right]$  .
\end{problem}

\begin{problem}
    证明当 $x>1$ 时，有 $\displaystyle\frac{x}{1+x}<\frac{\ln{(1+x)}}{\ln x}.$  
\end{problem}

\begin{problem}
    设 $f(t)$ 在 $[0,x] (x>0)$ 上连续，在 $(0,x)$ 内可导，且 $f(0)=0$ ,证明存在 $\xi \in (0,x)$ 使得
    $f(x) = (1+\xi)f'(\xi)\ln {(1+x)}.$ 
\end{problem}

\begin{problem}
    设 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty }a_nx^{2n}$ 的收敛半径为 $2$ ，求 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty }na_n(x-1)^{4n-2}$ 的收敛区间.
\end{problem}

\begin{problem}
    求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n} e^{-(1+\frac{1}{2}+\cdots + \frac{1}{n})x} $ 的收敛域，
    并说明该级数在其收敛域内是否一致收敛.
\end{problem}

\begin{problem}
    求曲线积分
    $$ 
        I = \int_L (z-y) \d x + (x-z) \d y + (x-y) \d z
    $$
    其中 $L$ 是 $x^2+y^2=1$ 与 $x-y+z=2$ 的交线，且从 $z$ 轴正向往下看 $L$ 时是顺时针方向.
\end{problem}

\begin{problem}
    设 $f(x)$ 在 $\mathbb{R} $ 上二阶连续可导，且 $|f(x)| \le A,f^n(x)\le B$,证明： $|f'(x)|\le 2\sqrt{AB}$  .
\end{problem}

\begin{problem}
    设 $\alpha(x,y)$ 和 $f(x)$ 都是可微函数，且 $z = z(x,y)$ 是由下列方程组：
    $$ \left\{\begin{array}{l}
        x \cos \alpha+y \sin \alpha+\ln z=f(\alpha) \\
        -x \sin \alpha+y \cos \alpha=f^{\prime}(\alpha)
        \end{array}\right. $$
    所确定的.
    求 $\displaystyle I = \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2+\left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2-z^2$. 
\end{problem}

\begin{problem}
    设对每个 $n\ge 1$ ，$f_n(x)$ 在 $[a,+\infty ]$ 上连续，且对任意的 $M>a$ 都有 $f_n$ 在 $[a,M]$ 上一致收敛于
    函数 $f(x)$ ，如果 $\forall \varepsilon >0$ ，总存在正数 $N(\varepsilon)$ ，使得当 $D>N(\varepsilon)$ 时，
    恒有 
     $$ 
        \left|\int_D^{+\infty} f_n(x)\d x\right|<\varepsilon 
    $$
    对一切的 $n \ge 1$ 成立.\\
    证明： $\displaystyle \int_a^{+\infty }f(x)\d x$ 收敛，且有 $\displaystyle \lim_{n\to \infty }\int_{a}^{+\infty }f_n(x)=\int_a^{+\infty}f(x)\d x.$   
\end{problem}
\end{document}